Question

已知△ABC的面积为S，三边长分别为a，b，c，则△ABC的内切圆的半径等于

 

．

Answer 1

分析：设△ABC内切圆的圆心为I，内切圆半径为r，则I与AB、BC、CA分别构成一个高等于r的三角形，这三个三角形的面积之和等于△ABC的面积S，由此利用三角形面积公式列式解出用a、b、c、S表示r的式子，可得答案．

解答：解：设内切圆的圆心为I，内切圆与AB、BC、CA的切点分别为F、D、E，连结AI、BI、CI、DI、EI、FI．
则ID、IE、IF分别是△IBC、△ICA、△IAB的高，
且ID=IE=IF=r（r为内切圆半径）．
∴S_△IBC=

1

2

BC•ID=

1

2

ar，S_△ICA=

1

2

CA•IE=

1

2

br，S_△IAB=

1

2

AB•IF=

1

2

cr．
∵S_△IBC+S_△ICA+S_△IAB=S_△ABC=S，
∴

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=S，即

1

2

（a+b+c）r=S，
解得r=

2S

a+b+c

．
即△ABC的内切圆的半径等于

2S

a+b+c

．
故答案为：

2S

a+b+c

点评：本题已知三角形的三条边长与面积，求三角形的内切圆半径大小．着重考查了三角形内切圆的性质、三角形面积公式等知识，考查了等积转换的数学思想，属于中档题．