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精英家教网如图,已知△ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点,且AD:DB=BE:EC=2:1,AE与CD交于P.设存在λ和μ使
AP
AE
PD
CD
AB
=
a
BC
=
b

(1)求λ及μ;
(2)用
a
b
表示
BP

(3)求△PAC的面积.
分析:(1)根据
AP
AE
=λ(
a
+
2
3
b
)
,用基底
a
b
 表示出
AP
.再根据
AP
=
AD
+
DP
=
2
3
AB
+
DP

用基底
a
b
 表示出
AP
.这两种表示方式是相同的,由此求出λ及μ.
(2)把
BP
BA
+
AP
来表示,把(1)中的结果代入可得用基底
a
b
 表 示的
BP

(3) 根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△PAB和△PBC 的面积,用△ABC的面积减去△PAB和△PBC 的面积
即得△PAC的面积.
解答:解:(1)由于
AB
=
a
BC
=
b
,则
AE
=
a
+
2
3
b
DC
=
1
3
a
+
b
AP
AE
=λ(
a
+
2
3
b
)
DP
DC
=μ(
1
3
a
+
b
)
AP
=
AD
+
DP
=
2
3
AB
+
DP

2
3
a
+μ(
1
3
a
+
b
)=λ(
a
+
2
3
b
)
,∴λ=
2
3
+
1
3
μ
 ①,
2
3
λ=μ
 ②,
由①②得λ=
6
7
μ=
4
7

(2)
BP
=
BA
+
AP
=-
a
+
6
7
×(
a
+
2
3
b
)=-
1
7
a
+
4
7
b

(3)设△ABC,△PAB,△PBC的高分别为h,h1,h2
h1:h=|
PD
|:|
CD
|=μ=
4
7
S△PAB=
4
7
S△ABC=8

h2:h=|
PE
|:|
AE
|=1-λ=
1
7
S△PBC=
1
7
S△ABC=2
,S△PAC=4.
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点评:本题考查向量数乘的运算和几何意义,把三角形的面积之比转化为向量的长度比,是解题的难点.
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