Question

在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如下左图。将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如下右图。

   （1）求证：平面ABCD；

   （2）求二面角E—AC—D的余弦值；

   （3）在线段BC上是否存在点F，使SF//平面EAC？若存在，确定F的位置， 若不存在，请说明理由。

Answer 1

解法一：（1）证明：在上左图中，由题意可知，

    为正方形，

    所以在上右图中，，

    四边形ABCD是边长为2的正方形，

    因为，ABBC，

    所以BC平面SAB，           （2分）

    又平面SAB，

    所以BCSA，

    又SAAB，

    所以SA平面ABCD，  （4分）

   （2） 在AD上取一点O，使，连接EO。

    因为，所以EO//SA

    所以EO平面ABCD，

    过O作OHAC交AC于H，连接EH，

    则AC平面EOH，

    所以ACEH。

    所以为二面角E—AC—D的平面角，

   

    在中，

   

    ,，

    即二面角E—AC—D的余弦值为   （10分）

   （3）当F为BC中点时，SF//平面EAC，

    理由如下：取BC的中点F，连接DF交AC于M，

    连接EM，AD//FC，

    所以，又由题意

    SF//EM，又平面EAC，

    所以SF//平面EAC，即当F为BC的中点时，

    SF//平面EAC   （14分）

    解法二：（1）同方法一 （4分）

   （2）如图，以A为原点建立直角坐标系，

    A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）

    易知平面ACD的法向为

    设平面EAC的法向量为

   

    由，

    所以，可取

    所以   （7分）

    所以

   

    即二面角E—AC—D的余弦值为   （10分）

   （3）设存在，

    所以SF//平面EAC，

    设

    所以，由SF//平面EAC，

    所以，所以0，

    即，即F（2，1，0）为BC的中点       （14分）