Question

1．设A，B为抛物线y²=2px（p＞0）上相异两点，则${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$的最小值为-4p²．

Answer 1

分析 设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．则${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$=4（x_A•x_B+y_A•y_B），分类讨论，结合韦达定理，${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$=4（a²-2ap）=4[（a-p）²-p²]≥-4p²即可得出结论．

解答 解：设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x_A+x_B，y_A+y_B），$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（x_B-x_A，y_B-y_A），
${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$=4（x_A•x_B+y_A•y_B），
若直线AB斜率存在，设为y=k（x-a），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-a）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（ak²+p）x+k²a²=0，
x_A•x_B=a²，y_A•y_B=k²（x_A-a）（x_B-a）=-2ap，
${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$=4（x_A•x_B+y_A•y_B）=4（a²-2ap）=4[（a-p）²-p²]≥-4p²，．
若直线不存在，当x_A=x_B=a，y_A=-y_B=$\sqrt{2ap}$时，上式也成立．
故所求最小值为-4p²．
当且仅当直线AB过点（p，0）时等号成立，
故答案为：-4p²．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了学生的计算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．