Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x+c（c为常数）．
（1）求f（x）的表达式
（2）对于任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

Answer 1

分析：（1）根据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），从而可求出-1≤x≤0时函数f（x）的解析式，最后根据奇偶性求出函数在0＜x≤1上的解析式，从而可得f（x）的表达式；
（2）当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，0＜x₁+x₂＜2，代入解析式进行化简变形，即可证得结论．

解答：解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称
∴f（x+1）=g（1-x）
∴f（x）=g（2-x）
当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，
∵当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x+c（c为常数）．
∴f（x）=-（2-x）²+4（2-x）+c=-x²+c+4
当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，∴f（-x）=-x²+c+4
由于f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x²-c-4
∴f(x)=

-x2+c+4，(-1≤x≤0) x2-c-4，(0＜x≤1)

（2）当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，0＜x₁+x₂＜2，
∴|f（x₂）-f（x₁）|=|

x

2 2

-

x

2 1

|=|（x₂-x₁）（x₂+x₁）|＜2|x₂-x₁|
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

点评：本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，考查函数的解析式，同时考查了不等式的证明，解题的关键是正确利用函数的对称性．