Question

已知椭圆与双曲线有公共的焦点，且椭圆过点P（0，2）。

（1）求椭圆方程的标准方程；

（2）若直线与双曲线的渐近线平行，且与椭圆相切，求直线的方程。

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为（>b>0）．

双曲线的焦点坐标分别为（– 2 ，0）（2，0），        ……2分

椭圆焦点坐标分别为（– 2 ，0）（2，0），∴c=2，即a² = b² + 4，……4分

又椭圆过点P（0，2），∴b² = 4，得a² = 8

∴所求椭圆方程的标准方程为 ．                    …… 6分

（2）双曲线渐近线方程：y = x ,

故设直线：y = x + m,                               …… 8分

代入椭圆方程得：7x² ±4mx + 2m² – 8 =0，          ……10分

由相切得：△=48m² – 28(2m² – 8 )= 0， 解得m =           ……12分

∴直线的方程是：y = x                       ……    13分