Question

（2011•枣庄二模）已知函数f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（cos²x-sin²x）-1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=

7

，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数的表达式，借助正弦函数的有界性，求出函数的最小值．
（2）通过f（C）=2，利用三角形的内角，求出C的值，通过余弦定理，正弦定理求出a，b的值即可．

解答：解：（1）函数f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（cos²x-sin²x）-1=sin（2x-

π

6

）-1，
显然，函数的最小值为-2．
（2）由f（C）=0，可得sin（2C-

π

6

）-1=0，因为C是三角形内角，所以2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
由余弦定理a²+b²-2abcos

π

3

=(

7

)2…①
又sinB=3sinA，所以b=3a…②
解①②得a=1，b=3．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力常考题型．注意三角形内角的应用．