Question

已知函数

   （I）求函数上的最小值；

   （II）求证：对一切，都有

Answer 1

【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，当x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）单调递减，

       当x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）单调递增．               ……2分

       ①0＜t＜t＋2＜，t无解；

       ②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时，f （x）_min＝f （）＝－；

       ③≤t＜t＋2，即t≥时，f （x）在［t，t＋2］上单调递增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；

       所以f （x）_min＝．                                           ……6分

       （II）问题等价于证明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），

       由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，当且仅当x＝时取到．

       设m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），则m ′（x）＝，易得m （x）_max＝m （1）＝－，当且仅当x＝1时取到，

                       从而对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－．