Question

函数y=f（x）满足f（3+x）=f（1-x），且x₁，x₂∈（2，+∞）时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，若f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2）对θ∈R恒成立．
（1）判断y=f（x）的单调性和对称性；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件可得y=f （x）的对称轴为x=2，当2＜x₁＜x₂时，f （x₁）＜f （x₂）； 当2＜x₂＜x₁时，f （x₂）＜f （x₁），由此可得结论．
（2）由f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2），可得|cos²θ+2m²|＜|sinθ+m²-3m-4|，即m²-3m-4+sinθ＞cos²θ+2m²（i），或m²-3m-4+sinθ＜-cos²θ-2m²（ii）恒成立．由（i）得求得m的范围，由（ii）求得m的范围，再把这2个m的范围取并集，即得所求．

解答：解：（1）由f （3+x）=f （1-x），可得f （2+x）=f（2-x），
∴y=f （x）的对称轴为x=2．…（2分）
当2＜x₁＜x₂时，f （x₁）＜f （x₂）；  当2＜x₂＜x₁时，f （x₂）＜f （x₁）．
∴y=f （x）在（2，+∝）上为增函数，在（-∞，2）上为减函数．…（4分）
（2）由f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2），可得|cos²θ+2m²|＜|sinθ+m²-3m-4|，
即m²-3m-4+sinθ＞cos²θ+2m²（i），或m²-3m-4+sinθ＜-cos²θ-2m²（ii）恒成立．…（7分）
由（i）得m²+3m+4＜-cos²θ+sinθ=（sinθ+

1

2

）²-

5

4

恒成立，∴m²+3m+4＜-

5

4

，
故 4m²+12m+21＜0恒成立，m无解．…（10分）
由（ii） 得3m²-3m-4＜-cos²θ-sinθ=（sinθ-

1

2

）²-

5

4

恒成立，可得3m²-3m-4＜-

5

4

，
即 12m²-12m-11＜0，解得

3- 42

6

＜m＜

3+ 42

6

．…（13分）

点评：本题主要函数的单调性的判断和证明，函数的恒成立问题，属于基础题．