Question

（2010•眉山一模）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（2）=3，则f（2010）=

3

．

Answer 1

分析：由题意和f（3）=3，需要令x=2代入关系式可求出f（0），再用x+1代换x，代入上式可得f（x+2）=

1

f(x)

，从而得到f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），求出函数的周期，利用周期性
求出f（2010）的值．

解答：解：由题意知，对于任意的实数都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=1代入上式得，f（2）f（0）=1，
∵f（2）=3，∴f（0）=

1

3

，
再用x+1代换x，代入上式可得，f（x+2）f（x）=1，则f（x+2）=

1

f(x)

，
f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），∴f（x）是周期函数且周期是4，
∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=3．
故答案为 3．

点评：本题是一道抽象函数问题，解题的关键是巧妙的赋值，求出函数值和函数的周期性，再利用周期性求函数值，即灵活的“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法．