Question

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求证：S_n＜．

Answer 1

解：（1）依题意可知a_n+1=f（a_n）=；
由于a₁=1不为0，所以a_n+1=f（a_n）都不为0，
上式两边同取倒数得到：
=；
∴=3+； 即：-=3
∴{}为等差数列首项为1，公差为3
∴=1+（n-1）×3=3n-2
∴a_n=
（2）证明：由（1）可知a_n=
∴a_na_n+1==（-）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（1-++…-）=（1-）＜
原式得证．
分析：（1）根据函数的解析式把a_n代入求得数列的递推式，两边取倒数整理可得-=3进而判断出{}为等差数列首项为1，公差为3，进而根据等差数列的通项公式求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入S_n进而利用裂项法求得数列的和，进而根据（1-）＜证明原式．
点评：本题主要考查了数列与函数的综合，数列的通项公式以及数列的求和问题．考查了学生综合运用所学知识的能力．