Question

（1）设a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数，求实数a的值；
（2）已知奇函数f（x）的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，0]内递减，求满足f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）是偶函数，得到关系式f（-x）=f（x），求解a．
（2）利用函数的奇偶性和单调性，建立不等关系，然后解不等式即可．

解答：解：（1）法一∵f（x）是R上偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立．即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，1分
（a²-1）（e^2x-1）=0，对任意的x恒成立，3分
解得a=1.5分
法二∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-1）=f（1），
∴

1

a

•

1

e

+ae=

e

a

+

a

e

，
∴e+

1

e

（

1

a

-a）=0，
∴（e²-1）=0，∴a-

1

a

=0．
又a＞0，∴a=1．
经验证当a=1时，有f（-x）=f（x）．∴a=1．
（2）∵f（x）的定义域为[-2，2]，又f（x）为奇函数，且在[-2，0]上递减，
∴在[-2，2]上递减，
由f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）得

-2≤1-m≤2 -2≤m2-1≤2 1-m＞m2-1

，解得

-1≤m≤3 m2≤3 m2+m-2＜0

所以解得-1≤m＜1.10分．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握相应的性质．