Question

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD.若E、F分别为PC、BD的中点，求证：

(1)EF∥平面PAD；

(2)EF⊥平面PDC.

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)连结AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.

(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.

又PA＝PD＝ AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD，而CD∩PD＝D，

∴PA⊥平面PDC.又EF∥PA，∴EF⊥平面PDC.