如图,四边形ABCD为正方形,在四边形ADPQ中,PD∥QA.又QA⊥平面ABCD,QA=AB=PD.
(1)证明:PQ⊥平面DCQ;
(2)CP上是否存在一点R,使QR∥平面ABCD,若存在,请求出R的位置,若不存在,请说明理由.
(1)见解析(2)存在CP中点R
【解析】(1)证法一:∵QA⊥平面ABCD,∴QA⊥CD,由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD,又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线,∴CD⊥平面PDAQ,∴CD⊥PQ,在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,则PQ⊥QD,又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线,∴PQ⊥平面DCQ.
证法二:∵QA⊥平面ABCD,QA?平面PDAQ,∴平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,∴DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,则PQ⊥QD,又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线,∴PQ⊥平面DCQ.
(2)存在CP中点R,使QR∥平面ABCD.证明如下:
取CD中点T,连结QR、RT、AT,则RT∥DP,且RT=DP,又AQ∥DP,且AQ=DP,从而AQ∥RT,且AQ=RT,∴四边形AQRT为平行四边形,所以AT∥QR,∵QR平面ABCD,AT平面ABCD,∴QR∥平面ABCD.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第6课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD.若E、F分别为PC、BD的中点,求证:
(1)EF∥平面PAD;
(2)EF⊥平面PDC.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷(解析版) 题型:填空题
如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上不同于A、B的任一点,则图中直角三角形的个数为________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第2课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列命题是真命题的是________.(填序号)
①若m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线;
②若m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线;
③已知α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥β;
④若m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第2课时练习卷(解析版) 题型:填空题
在四面体ABCD中,M、N分别是平面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第6课时练习卷(解析版) 题型:填空题
在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,当n≥2时,an+1是an·an-1的个位数,则a2010=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第4课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知an=
(1)求数列{an}的前10项和S10;
(2)求数列{an}的前2k项和S2k.
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