Question

【题目】在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

作出图形，取的两个三等分点、，连接、、，设，连接、，推导出为的外心，计算出、、设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，并设三棱锥的外接球半径为，设，通过几何关系列等式求出的值，利用球体的表面积公式可求得结果.

如图，取的两个三等分点、，连接、、，

设，连接、.

则，，又，，

所以，四边形为平行四边形，，为的中点，

所以，，

由勾股定理可得，则，

在中，，，

，，又，则为等边三角形，

，则是的外接圆的圆心.

因为，为的中点，，

，，，，，

，又，，平面，

且.

设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，

则外接球的半径满足，

设，则，解得，

从而，故三棱锥外接球的表面积为.

故选：D.