Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c且cos2B+3cosB﹣1=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）在△ABC中，∵cos2B+3cosB﹣1=0，
∴2cos2B+3cosB﹣2=0，
∴cosB=或cosB=﹣2（舍去），
∴B=．
（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3a2﹣3a+1，其中0＜a＜1，
∵f（a）=3a2﹣3a+1在上递减，在上递增，
∴，又0＜b＜1，
∴．
【解析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简已知可得2cos2B+3cosB﹣2=0，解得cosB，从而可求B的值．
（2）由已知及余弦定理可得b2=3a2﹣3a+1，其中0＜a＜1，由于二次函数f（a）=3a2﹣3a+1在上递减，在上递增，从而可求b2的最小值，进而得解b的最小值．
【考点精析】通过灵活运用余弦定理的定义，掌握余弦定理:;;即可以解答此题．