Question

(理)如图,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,D是BC的中点,AA₁=AB=1.

(1)求证:A₁C∥平面AB₁D;

(2)求二面角BAB₁D的大小;

(3)求点C到平面AB₁D的距离.

(文)如图,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,D是BC的中点,AA₁=AB.

(1)求证:AD⊥B₁D;

(2)求证:A₁C∥平面AB₁D;

(3)求二面角BAB₁D的大小.

Answer 1

答案：(理)解法一:

(1)证明:连接A₁B,设A₁B∩AB₁=E,连接DE.

∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,且AA₁=AB,∴四边形A₁ABB₁是正方形.∴E是A₁B的中点.又D是BC的中点,∴DE∥A₁C.

∵DE平面AB₁D,A₁C平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D.

(2)解:在面ABC内作DF⊥AB于点F,在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G,连接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC,∴DF⊥平面A₁ABB₁.∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影.∵FG⊥AB₁,∴DG⊥AB₁.∴∠FGD是二面角BAB₁D的平面角.

设A₁A=AB=1,在正△ABC中,DF=,

在△ABE中,FG=BE=,

在Rt△DFG中,tan∠FGD=,所以,二面角BAB₁D的大小为arctan.

(3)解:∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC,且AD⊥BC,∴AD⊥平面B₁BCC₁.又AD平面AB₁D,∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H,则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离.

由△CDH∽△B₁DB,得CH=,即点C到平面AB₁D的距离是.

解法二:建立空间直角坐标系D—xyz,如图.

(1)证明:连接A₁B,设A₁B∩AB₁=E,连接DE.设A₁A=AB=1,

则D(0,0,0),A₁(0,,1),E(-,,),C(,0,0).∴=(,-,-1),=(-,,).

∴=-2.∴A₁C∥DE.

∵DE平面AB₁D,A₁C平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D.

(2)解:∵A(0,,0),B₁(-,0,1),∴=(0,-,0),=(,0,-1).设n₁=(p,q,r)是平面AB₁D的法向量,则n₁·=0,且n₁·=0,故-q=0,p-r=0.取r=1,得n₁=(2,0,1);

同理,可求得平面AB₁B的法向量是n₂=(,-1,0).

设二面角BAB₁D的大小为θ,∵cosθ=,

∴二面角BAB₁D的大小为arccos.

(3)解:由(2)得平面AB₁D的法向量为n₁=(2,0,1),

取其单位法向量n=(,0,),又=(,0,0),

∴点C到平面AB₁D的距离d=|·n|=.

(文)解法一:(1)证明:

∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,∴BB₁⊥平面ABC.∴BD是B₁D在平面ABC上的射影.在正△ABC中,∵D是BC的中点,∴AD⊥BD.根据三垂线定理得AD⊥B₁D.

(2)证明:连接A₁B,设A₁B∩AB₁=E,连接DE.∵AA₁=AB,∴四边形A₁ABB₁是正方形.∴E是A₁B的中点.又D是BC的中点,∴DE∥A₁C.

∵DE平面AB₁D,A₁C平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D.

(3)解:在面ABC内作DF⊥AB于点F,在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G,连接DG.∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC,∴DF⊥平面A₁ABB₁.∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影.∵FG⊥AB₁,∴DG⊥AB₁.∴∠FGD是二面角BAB₁D的平面角.

设A₁A=AB=1,在正△ABC中,DF=,在△ABE中,FG=BE=,

在Rt△DFG中,tan∠FGD==,所以二面角BAB₁D的大小为arctan.

解法二:建立空间直角坐标系D—xyz,如图.

则D(0,0,0),A(0,,0),B₁(-,0,1).

(1)证明:∵=(0,-,0),=(,0,-1),∴=0.∴⊥,即AD⊥B₁D.

(2)证明:连接A₁B,设A₁B∩AB₁=E,连接DE.∵A₁(0,,1),E(-,,),C(,0,0),

∴=(,-,-1),=(-,,).∴=-2.∴A₁C∥DE.

∵DE平面AB₁D,A₁C平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D.

(3)解:设n₁=(p,q,r)是平面AB₁D的法向量,则n₁·=0,且n₁·=0,故-q=0,p-r=0.取r=1,得n₁=(2,0,1);同理,可求得平面AB₁B的法向量是n₂=(,-1,0).

设二面角BAB₁D的大小为θ,∵cosθ=,

∴二面角BAB₁D的大小为arccos.