Question

（03年北京卷理）（12分）

如图，正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，

EF∩BD=G.

   （Ⅰ）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

   （Ⅱ）求点D₁到平面B₁EF的距离d；

   （Ⅲ）求三棱锥B₁―EFD₁的体积V.

 

Answer 1

解析: （Ⅰ）证法一：

连结AC.

∵正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，

∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁.

∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，

∴EF⊥平面BDD₁B₁，

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

  证法二：

    ∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又 EF⊥D₁D

∴EF⊥平面BDD₁B₁，   ∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

（Ⅱ）在对角面BDD₁B₁中，作D₁H⊥B₁G，垂足为H.

∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，

∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足为H，∴点D₁到平面B₁EF的距离d=D₁H.

解法一：

在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁?sin∠D₁B₁H.  

∵，

 

 ∴

    解法二：

    ∵△D₁HB₁～△B₁BG，  ∴， 

∴

    解法三：

    连结D₁G，则三角形D₁GB₁的面积等于正方形DBB₁D₁面积的一半，

    即，

    （Ⅲ）