Question

观察下列各式：
①cos

π

3

=

1

2

；
②cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

；
③cos

π

9

cos

2π

9

cos

4π

9

=

1

8

；
④cos

π

17

cos

2π

17

cos

4π

17

cos

8π

17

=

1

16

；
归纳推出一般结论为

cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：由已知中的①至④，我们分析等式两边式子中项数及各项的变化规律，归纳推理后可得结果．

解答：解：由已知中：
①cos

π

3

=

1

2

；
②cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

；
③cos

π

9

cos

2π

9

cos

4π

9

=

1

8

；
④cos

π

17

cos

2π

17

cos

4π

17

cos

8π

17

=

1

16

；
…
左边都有n项余弦相乘，且各项分母都满足2ⁿ+1，分子是一个以π为首项以2为公比的等比数列

1

2n

右边都是

1

2n

的形式，由此可归纳推理出一般结论为：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）
故答案为：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）

点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中从已知中的①至④，分析等式两边式子中项数及各项的变化规律，是解答的关键．