Question

观察下列各式：1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²，4+5+6+7+8+9+10=7²，…，可得猜想：

n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²

；请对上面的猜想给出证明．

Answer 1

分析：等号的左边第一个加数是n，后面连续2n-1个自然数的和，等号的右边是连续2n-1平方，据此进行猜想，最后利用等差数列的求和公式求解即得．

解答：解：由1=1²，
2+3+4=3²，
3+4+5+6+7=5²，
4+5+6+7+8+9+10=7²，…，
可以发现算式规律：n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n-2）=（2n-1）²
证明：左边=n（2n-1）+

1

2

（2n-1）（2n-2）=（2n-1）²=右边，
∴左边=右边
因此，所猜想的结论正确．
故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²

点评：先发现式子中特殊数的变化规律，再去发现一般规律，最后验证．