Question

(14分)设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（Ⅱ）.（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：(I) B（x₀，0）,根据，且,可得,

据此可得，所以离心率.

(II)在（I）的基础上由离心率可知,可用a表示△的外接圆圆心和半径，再根据

圆心到直线的距离为，建立关于a的方程求出a的值，椭圆方程为.

(III)直线方程与椭圆方程联立消y得,下一步解题的关键是把借助韦达定理转化为关于k,m的方程，从而可用k表示m,再利用函数的方法求出m的取值范围.

（Ⅰ）设B（x₀，0），由（c，0），A（0，b），

    知 

，

    由于 即为中点．

    故

，  

故椭圆的离心率 

（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B，

    △的外接圆圆心为（，0），半径r=||=,

D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，

所以，解得=2，∴c =1，b=，

所求椭圆方程为.                         ------------------8分

（Ⅲ）由（2）知, ：

               代入得  

    设，

    则，     ------------------10分

   

    由于菱形对角线垂直，则

    故,则

                   ------------------12分

    由已知条件知且 

    

    故存在满足题意的点P且的取值范围是．------------------14分

考点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程及性质，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，

向量的坐标运算，函数最值.

点评：本题属于综合性很强的题目，难度大，思维量大，只要掌握好椭圆的标准方程及有关性质，向量的坐标运算，函数最值的求法等基础知识，还必须有较强的计算能力才能根本解决此类问题.