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    （本题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为F1与

     

    F2，直线过椭圆的一个焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，若的周长为。

    （1）求椭圆C的方程；

    （2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线，直线与曲线相切

     

    且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，求面积的取值范围。（O为坐标原点）

     

    【答案】

    （1）依题意与轴交于点F2（1，0）即     （1分）

    又

    所以

     所以椭圆C的方程为   （4分）

    （2）依题意曲线的方程为即圆   （5分）

    因为直线与曲线相切，

    所以，即         （6分）

    由得

    设  所以，所以           （7分）

    所以     （8分）

    所以

    又，             所以   （9分）

    所以    又，       所以，

    所以   （10分）

    又

    设    因为，所以

       在上为递增函数，

    所以   又O到AB的距离为1，

    所以

    即的面积的取值范围为    （14分）

    【解析】略

     

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    （1）若，求函数的极值；

    （2）若，试确定的单调性；

    （3）记，且在上的最大值为M，证明：．

     

     

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