Question

16．已知$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$为直角坐标平面xOy内x，y轴正方向上的单位向量，$\overrightarrow{a}$=（x+1）$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=（x-1）$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$（x，y∈R），且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=6
（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（0，1）作直线l与曲线C交于A，B两点，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$，是否存在直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将两向量的模用坐标表示出来，探究发现点M到两个定点之间的距离和为6，符合椭圆的定义．用定义法写出其标准方程即可．
（Ⅱ）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于点A和点B的坐标的方程①，在利用OAPB为矩形转化为OA⊥OB既为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．把①式代入就可求直线AB的方程．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{a}$=（x+1）i+yj，$\overrightarrow{b}$=（x-1）i+yj
又|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4，∵$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=6$．
∴点M（x，y）的轨迹C是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．
（Ⅱ）由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，
设AB方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$⇒（9k²+8）x²+18kx-63=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-18k}{9{k}^{2}+8}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-63}{9{k}^{2}+8}$
y₁•y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=$\frac{-72{k}^{2}+8}{9{k}^{2}+8}$
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB⇒$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0得72k²=-55，方程无解，
∴不存在直线l，使得四边形OAPB是矩形．

点评 本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量垂直问题．在研究直线和圆锥曲线问题时，通常把直线方程和圆锥曲线方程联立，找到关于二者交点坐标的方程，再代入已知条件解题．属于中档题．