Question

16．函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．则
①函数f（x）=（x-1）³是单函数：
②函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，}&{x≥2}\\{2-x，}&{x＜2}\end{array}\right.$是单函数
③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）
④若函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数
以上命题正确的是（　　）

• A． ①④
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据已知中“单函数”的定义，可得函数f（x）为单函数时，对任意x₁≠x₂，均有f（x₁）≠f（x₂）成立，由此举出反例可判断①②，根据定义可判断③④，进而得到答案．

解答 解：①中函数f（x）=（x-1）³，是函数f（x）=x³是单调函数，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时，有x₁=x₂，满足“单函数”的定义；
②中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，}&{x≥2}\\{2-x，}&{x＜2}\end{array}\right.$，当x=0或x=4时，f（x）=2，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时，有x₁≠x₂，不满足“单函数”的定义；
③由“单函数”的定义可得f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，故其逆否命题：x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）成立，故③为真命题
④中函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x₁≠x₂，使x₁≠x₂，从而不满足“单函数”的定义；
综上真命题有①③．
故选：C．

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了新定义“单函数”，正确理解“单函数”的定义是解答的关键．