Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设集合P={x|x=2a_n，n∈N^*}，Q={x|x=2n+2∈N^*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈P∩Q，其中c₁是P∩Q中的最小数，110＜c₁₀＜115，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列{a_n}的前n项和为S_n，由a_n=S_n-S_n-1，并代入n=1验证即可确定出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据P与Q得到两集合的交集为P，进而确定出c₁，再由{c_n}的公差是4的倍数，表示出c₁₀，根据c₁₀的范围求出m的值，确定出c₁₀，进而确定出d，即可得出数列{c_n}的通项公式．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，当n=1时，a₁=S₁=3满足上式，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1；   
（Ⅱ）∵P={x|x=4n+2，n∈N^*}，Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，
∴P∩Q=P，
又∵c_n∈P∩Q，其中c₁是P∩Q中的最小数，
∴c₁=6，
∵{c_n}的公差是4的倍数，
∴c₁₀=4m+6（m∈N^*），
又∵110＜c₁₀＜115，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{110＜4m+6＜115}\\{m∈{N^*}}}\end{array}}\right.$，
解得：m=27，即c₁₀=114，
设等差数列的公差为d，则d=$\frac{{c}_{10}-{c}_{1}}{10-1}$=$\frac{114-6}{9}$=12，
∴c_n=6+（n-1）12=12n-6，
则{c_n}的通项公式为c_n=12n-6．

点评 此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．