Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，x为一切实数，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 令t=x²（t≥0）换元，得到g（t）=$\frac{t-1}{t+1}$（t≥0），画出函数图象，数形结合求得答案．

解答 解：令t=x²（t≥0），
则函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$化为g（t）=$\frac{t-1}{t+1}$（t≥0）．
g（t）=$\frac{t+1-2}{t+1}=1-\frac{2}{t+1}$（t≥0），
作出函数图象如图，

由图可知，函数g（t）在[0，+∞）上为增函数，
则函数的值域为[-1，1）．
即f（x）的取值范围是[-1，1）．

点评 本题考查函数值域的求法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．