Question

3．已知$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OC}=（-1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CB}$=（cosα，sinα），则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角的取值范围为（　　）

• A． $[\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}]$
• B． $[\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}]$
• C． $[\frac{2π}{3}，\frac{5π}{6}]$
• D． $[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$

Answer 1

分析 由题知点B在以C（-1，$\sqrt{3}$）为圆心，1为半径的圆上，所以本题应采用数形结合来解题，由图来分析其夹角的最大值点、最小值点，从而得出结论．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，由题意可得$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CB}$=（-1 $\sqrt{3}$）+（cosα，sinα）=（-1+cosα，$\sqrt{3}$+sinα），
令x=cosα-1，y=sinα+$\sqrt{3}$，则有 （x+1）²+${（y-\sqrt{3}）}^{2}$=1，
故点B在以C（-1，$\sqrt{3}$）为圆心、半径等于1的圆上，如图：
直角三角形OCD中，sin∠COD=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，∴∠COD=$\frac{π}{6}$=∠COE．
故则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角的夹角的最小值为∠AOD=$\frac{π}{2}$，最大值为∠AOE=$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
即则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角的取值范围是[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
故选：A．

点评 本题考查向量的坐标运算及向量的数量积与夹角，解题的关键是求出点B的轨迹，结合圆的性质进行求解，属于中档题．