Question

13．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在区间[2，+∞）上的增减性，并用定义证明；
（3）求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由分母不为0，可得函数的定义域；
（2）函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数．运用定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）运用单调性，即可得到最值．

解答 解：（1）函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$的定义域为{x|x≠0，且x∈R}；
（2）函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数．
理由如下：设2≤m＜n，则f（m）-f（n）=m+$\frac{1}{m}$-（n+$\frac{1}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{1}{mn}$），
由2≤m＜n，可得m-n＜0，mn＞4，1-$\frac{1}{mn}$＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
故函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数；
（3）函数f（x）在[2，+∞）上为增函数．
则f（2）取得最小值，且为$\frac{5}{2}$，无最大值．

点评 本题考查函数的定义域和单调性的判断及应用：求最值，考查运算能力，属于基础题．