Question

15．设正三角形ABC的边长为a，现有一向量$\overrightarrow{x}$与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$的夹角分别为50°，170°，70°，则向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$在向量$\overrightarrow{x}$上的射影的和为0．类比到n边形A₁A₂…A_n，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$，$…\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{1}}$，与$\overrightarrow{x}$的夹角分别为θ₁，θ₂，…，θ_n，则向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$，$…\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{1}}$在向量$\overrightarrow{x}$上的射影的和为0．

Answer 1

分析 如图所示，A（-acos50°，-asin50°），B（0，0），C（acos170°，asin170°），取$\overrightarrow{x}$=（1，0）．可得$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{x}|}$=acos50°，$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{x}|}$=acos170°，$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{x}|}$=-acos50°+acos10°，即可得出：向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$在向量$\overrightarrow{x}$上的射影的和．类比到n边形A₁A₂…A_n，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$，$…\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{1}}$，与$\overrightarrow{x}$的夹角分别为θ₁，θ₂，…，θ_n，可得向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$，$…\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{1}}$在向量$\overrightarrow{x}$上的射影的和．

解答 解：如图所示，
A（-acos50°，-asin50°），B（0，0），C（acos170°，asin170°），
∴$\overrightarrow{AB}$=（acos50°，asin50°），$\overrightarrow{BC}$=（acos170°，asin170°），$\overrightarrow{CA}$=（-acos50°+acos10°，-asin50°-asin10°），
取$\overrightarrow{x}$=（1，0）．
∴$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{x}|}$=acos50°，$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{x}|}$=acos170°，$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{x}|}$=-acos50°+acos10°，
∴向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$在向量$\overrightarrow{x}$上的射影的和=acos50°+acos170°+（-acos50°+acos10°）=0，
类比到n边形A₁A₂…A_n，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$，$…\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{1}}$，与$\overrightarrow{x}$的夹角分别为θ₁，θ₂，…，θ_n，则向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$，$…\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{1}}$在向量$\overrightarrow{x}$上的射影的和为 0．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的投影、类比推理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．