Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ax2+x，a∈R．
（1）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；
（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的单调区间；
（3）若a=﹣2，正实数x1 ， x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（1）= ，所以a=2．

此时f（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，

，

由f'（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0．

（2）解： ，

所以 ．

当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．

所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，

当a＞0时， ，

令g′（x）=0，得 ．

所以当 时，g′（x）＞0；当 时，g′（x）＜0，

因此函数g（x）在 是增函数，在 是减函数．

综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间；

当a＞0时，函数g（x）的递增区间是 ，递减区间是 ．

（3）解：由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．

令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得， ．t＞0

可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．

所以φ（t）≥φ（1）=1，

所以 ，解得 或 ．

又因为x1＞0，x2＞0，

因此 成立．

【解析】（1）先求出a的值，然后求原函数的极值即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．