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    若xn=
    		1×2
    +
    		2×3
    +…+
    		n(n+1)
    （n为正整数），
    求证：不等式  
    n(n+1)
    2
    ＜x n＜
    (n+1)2
    2
    对一切正整数n恒成立．
    分析：先对式子：xn=
    		1×2
    +
    		2×3
    +…+
    		n(n+1)
    的通项进行放缩：n＜
    		n(n+1)
    ＜ n+
    1
    2
    ，再左右两边分别求和，即可证得结论．
    解答：证明：∵n＜
    		n(n+1)
    ＜ n+
    1
    2

    ∴1+2+3+…+n＜
    		1×2
    +
    		2×3
    +…+
    		n(n+1)
    ＜(1+
    1
    2
    )+(2+
    1
    2
    )+…+(n+
    1
    2
    )
    即：
    n(n+1)
    2
    ＜x n＜
    n2+2n
    2

    ∴
    n(n+1)
    2
    ＜x n＜
    (n+1)2
    2
    ．
    ∴不等式  
    n(n+1)
    2
    ＜x n＜
    (n+1)2
    2
    对一切正整数n恒成立．．
    点评：本题考查不等式的证明（关键是去掉根式），以及数列求和、及放缩法．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，对每个正整数n，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴及射线y=
    		3
    x，（x≥0）都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
    （1）求证：数列{xn}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
    （2）设数列{an}的各项为正，且满足an≤
    xnan-1
    xn+an-1
    ，a1    =1，
    求证：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
    5
    4
    -
    1
    3n-1
    ，（n≥2）
    （3）对于（2）中的数列{an}，当n＞1时，求证：(1-an)2[
    a
    2
    2
    (1-
    a
    2
    2
    )    2
    +
    a
    3
    3
    (1-
    a
    3
    3
    )    2
    +…+
    a
    n
    n
    (1-
    a
    n
    n
    )    2
    ]＞
    4
    5
    -
    1
    1+an+
    a
    2
    n
    +…+
    a
    n
    n
    ．

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    科目：高中数学 来源：江西省师大附中2012届高三上学期期中考试数学理科试题 题型：013

    已知函数f(x)＝3x－2，x∈R．规定：给定一个实数x0，赋值x1＝f(x0)，若x1≤244，则继续赋值x2＝f(x1)，…，以此类推，若xn－1≤244，则xn＝f(xn－1)，否则停止赋值，如果得到xn称为赋值了n次(n∈N*)．已知赋值k次后该过程停止，则x0的取值范围是

    [　　]
    A．

    (3k－6，3k－5]

    B．

    (35－k＋1，36－k＋1]

    C．

    (3k－6＋1，3k－5＋1]

    D．

    (34－k＋1，35－k＋1]

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    科目：高中数学 来源：江西省临川二中、新余四中2012届高三第一次联考数学理科试题 题型：013

    已知函数f(x)＝3x－2，x∈R．规定：给定一个实数x0，赋值x1＝f(x0)，若x1≤244，则继续赋值x2＝f(x1)，…，以此类推，若xn－1≤244，则xn＝f(xn－1)，否则停止赋值，如果得到xn称为赋值了n次(n∈N*)．已知赋值k次后该过程停止，则x0的取值范围是

    [　　]

    A．(3k－6，3k－5]

    B．(35－k＋1，36－k＋1]

    C．(3k－6＋1，3k－5＋1]

    D．(34－k＋1，35－k＋1]

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    若xn=
    		1×2
    +
    		2×3
    +…+
    		n(n+1)
    （n为正整数），
    求证：不等式  
    n(n+1)
    2
    ＜x n＜
    (n+1)2
    2
    对一切正整数n恒成立．

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