Question

2．已知向量$\overrightarrow a，\vec b，|{\vec a}|=1，|{\vec b}|=2$．若对任意单位向量$\vec e$，均有$|{\vec a•\vec e}|+|{\vec b•\vec e}|≤\sqrt{6}$，则$\overrightarrow a•\vec b$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．

解答 解：∵|（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}$|≤$|{\vec a•\vec e}|+|{\vec b•\vec e}|≤\sqrt{6}$恒成立，
∴|（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{e}$|$≤\sqrt{6}$恒成立，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{6}$，
∵（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=5+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，
∴$\sqrt{5+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$$≤\sqrt{6}$，
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．