Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}，n∈{N^*}$．
（1）证明：数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{a_n}{2n+1}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使不等式S_n＜k对一切n∈N^*恒成立的实数k的范围．

Answer 1

分析 （1）对递推式两边取倒数化简即可得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，结论得证，利用等差数列的通项公式得出$\frac{1}{{a}_{n}}$，再得出a_n；
（2）使用裂项法求出S_n，使用不等式得出S_n的范围，从而得出k的范围．

解答 （1）证明：∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$，∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}+2$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，又a₁=1，
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{a_n}=2n-1$，
∴${a_n}=\frac{1}{2n-1}$．        
（2）解：${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$，
要使不等式S_n＜k对一切n∈N^*恒成立，则k$≥\frac{1}{2}$．
∴k的范围为$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查了等差数列的判断，等差数列的通项公式，裂项法求和，属于中档题．