Question

7．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=-3x²+3且f（0）=-1，$g（x）=xlnx+\frac{a}{x}（a≥1）$．
（1）求f（x）的极值；
（2）求证：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤g（x₂）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）法一：问题转化为x≤x²lnx+1（x＞0），即x²lnx+1-x≥0（x＞0）令h（x）=x²lnx+1-x（x＞0），根据函数的单调性证明即可；
法二：由a≥1知，$g（x）≥xlnx+\frac{1}{x}（x＞0）$，令$h（x）=xlnx+\frac{1}{x}（x＞0）$，求出h（x）的最小值，从而证明结论即可；
法三：同法二，求h（x）的最小值时可以二次求导．

解答 解：（ 1）依题意得f（x）=-x³+3x-1，f'（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1）
知f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是减函数，在（-1，1）上是增函数
∴f（x）_极小值=f（-1）=-3，f（x）_极大值=f（1）=1
（2）法1：易得x＞0时，f（x）_最大值=1，
依题意知，只要$1≤g（x）（x＞0）?1≤xlnx+\frac{a}{x}（a≥1）（x＞0）$
由a≥1知，只要x≤x²lnx+1（x＞0）?x²lnx+1-x≥0（x＞0）
令h（x）=x²lnx+1-x（x＞0），则h'（x）=2xlnx+x-1
注意到h'（1）=0，当x＞1时，h'（x）＞0；当0＜x＜1时，h'（x）＜0，
即h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，h（x）_最小值=h（1）=0
即h（x）≥0，综上知对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤g（x₂）
法2：易得x＞0时，f（x）_最大值=1，
由a≥1知，$g（x）≥xlnx+\frac{1}{x}（x＞0）$，令$h（x）=xlnx+\frac{1}{x}（x＞0）$
则$h'（x）=lnx+1-\frac{1}{x^2}=lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x^2}$
注意到h'（1）=0，当x＞1时，h'（x）＞0；当0＜x＜1时，h'（x）＜0，
即h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，
h（x）_最小值=h（1）=1，所以h（x）_最小值=1，
即g（x）_最小值=1．
综上知对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤g（x₂）．
法3：易得x＞0时，f（x）_最大值=1，
由a≥1知，$g（x）≥xlnx+\frac{1}{x}（x＞0）$，令$h（x）=xlnx+\frac{1}{x}（x＞0）$，则$h'（x）=lnx+1-\frac{1}{x^2}（x＞0）$
令$φ（x）=lnx+1-\frac{1}{x^2}（x＞0）$，则$φ'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}＞0$，
知φ（x）在（0，+∞）递增，注意到φ（1）=0，
所以，h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，
有h（x）_最小值=1，即g（x）_最小值=1
综上知对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤g（x₂）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．