Question

12．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在[$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$]内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为$\frac{\sqrt{3}π}{12}$．

Answer 1

分析 过A作BD的垂线AE，则A点轨迹是以E为圆心的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角A-BD-A′的大小为θ，用θ表示出A和C的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．

解答 解：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，A′E．
∵矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴A点的轨迹为以E为圆心，以$\frac{\sqrt{3}}{2}$为半径的圆弧．
∠A′EA为二面角A-BD-A′的平面角．
以E为原点，以EB，EA′，EA为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz，
设∠A′EA=θ，则A（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），C（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）
∴AC=$\sqrt{1+\frac{3}{4}（cosθ+1）^{2}+\frac{3}{4}si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{\frac{5+3cosθ}{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{2}≤$$\sqrt{\frac{5+3cosθ}{2}}$$≤\frac{\sqrt{13}}{2}$，
解得0≤cosθ≤$\frac{1}{2}$，
∴60°≤θ≤90°，
∴A点轨迹的圆心角为30°，
∴A点轨迹的长度为$\frac{π}{6}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}π}{12}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{12}π$

点评 本题考查了空间距离的计算，建立坐标系用θ表示出AC的长是解题的关键，属于中档题．