Question

3．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上横坐标为$\frac{3}{2}a$的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则该双曲线两条渐近线所夹的锐角的取值范围是（0°，60°）．

Answer 1

分析 运用双曲线的第二定义，可得双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上横坐标为$\frac{3a}{2}$的点到右焦点的距离=（$\frac{3a}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$）e=$\frac{3c}{2}$-a，双曲线上横坐标为$\frac{3a}{2}$的点到左准线的距离=$\frac{3a}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$，由$\frac{3c}{2}$-a＞$\frac{3a}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$，能够推导出双曲线离心率的取值范围是（2，+∞），即c＞2a，进而得到a，b的关系，由渐近线的斜率，结合双曲线的渐近线的对称性，可得夹角的范围．

解答 解：双曲线的准线方程为x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由双曲线的第二定义，可得双曲线上横坐标为$\frac{3}{2}a$的点到右焦点的距离为：
e（$\frac{3a}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=$\frac{c}{a}$•（$\frac{3a}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=$\frac{3c}{2}$-a，
它到左准线的距离为$\frac{3a}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即有$\frac{3c}{2}$-a＞$\frac{3a}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即为3c²-5ac-2a²＞0，
同除以a²，可得3e²-5e-2＞0，
解得e＞2或e＜-$\frac{1}{3}$（舍去）．
即有c＞2a，即c²＞4a²，
即有a²+b²＞4a²，
则b²＞3a²，即有b＞$\sqrt{3}$a，
而双曲线的渐近线的斜率为±$\frac{b}{a}$，
由$\frac{b}{a}$＞$\sqrt{3}$，可得一条渐近线的倾斜角的范围为（60°，90°），
由对称性可得该双曲线两条渐近线所夹的锐角的取值范围是（0°，60°）．
故答案为：（0°，60°）．

点评 本题考查双曲线的第二定义和渐近线方程，以及对称性，解题的关键是准确把握双曲线上横坐标为$\frac{3a}{2}$的点到右焦点的距离，考查运算能力，属于中档题．