已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点.且离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)若A为椭圆C的下顶点.M.N为椭圆C上异于A的两点.直线AM与AN的斜率之积为1．(i)求证:直线MN恒过定点.并求出该定点坐标,(ii)若O为坐标原点.求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．已知椭圆C与双曲线y²-x²=1有共同焦点，且离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1．
（i）求证：直线MN恒过定点，并求出该定点坐标；
（ii）若O为坐标原点，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围．

分析（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）（i）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），运用直线的斜率公式，设出设直线MN：y=kx+t，代入椭圆方程，可得（3+k²）x²+2ktx+t²-3=0，运用韦达定理，结合M，N在直线上，满足直线方程，化简整理，可得t的方程，解方程可得t，即可证得直线MN恒过定点；
（ii）由（i）可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂，运用（i）的结论，由判别式大于0，化简整理，并运用换元法，由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得a²-b²=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，c=$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{3}$+x²=1；
（Ⅱ）（i）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由A（0，-$\sqrt{3}$），直线AM与AN的斜率之积为1，
可得$\frac{{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+\sqrt{3}}{{x}_{2}}$=1，
即有x₁x₂=y₁y₂+$\sqrt{3}$（y₁+y₂）+3，
由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：y=kx+t，
代入椭圆方程，可得（3+k²）x²+2ktx+t²-3=0，
可得x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-3}{3+{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{2kt}{3+{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=2t-$\frac{2{k}^{2}t}{3+{k}^{2}}$=$\frac{6t}{3+{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{{t}^{2}-3}{3+{k}^{2}}$+kt（-$\frac{2kt}{3+{k}^{2}}$）+t²=$\frac{3{t}^{2}-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，
则$\frac{{t}^{2}-3}{3+{k}^{2}}$=$\frac{3{t}^{2}-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$+$\sqrt{3}$（$\frac{6t}{3+{k}^{2}}$）+3，
化为t²+3$\sqrt{3}$t+6=0，
解得t=-2$\sqrt{3}$（-$\sqrt{3}$舍去），
则直线MN的方程为y=kx-2$\sqrt{3}$，
即直线MN恒过定点，该定点坐标为（0，-2$\sqrt{3}$）；
（ii）由（i）可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂
=$\frac{{t}^{2}-3}{3+{k}^{2}}$+$\frac{3{t}^{2}-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$=$\frac{4{t}^{2}-3-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$=$\frac{45-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，
由（3+k²）x²+2ktx+t²-3=0，
可得△=4k²t²-4（t²-3）（3+k²）=48k²-36（3+k²）＞0，
解得k²＞9．
令3+k²=m，则m＞12，且k²=m-3，
即有$\frac{45-3{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$=$\frac{45-3（m-3）}{m}$=$\frac{54}{m}$-3，
由m＞12，可得-3＜$\frac{54}{m}$-3＜$\frac{3}{2}$．
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围是（-3，$\frac{3}{2}$）．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线恒过定点问题，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，向量数量积的坐标表示，考查转化思想和化简整理的运算能力，具有一定的综合性，属于难题．

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