Question

2．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+2）=f（-x+2），f（4）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A． （-∞，e⁴）
• B． （e⁴，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得g（0）=1，即可得出．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，
∴函数f（-x+2）=f（x+2），
∴函数关于x=2对称，
∴f（0）=f（4）=1，
原不等式等价为g（x）＜1，
∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1．
∴g（x）＜1?g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上单调递减，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．