Question

11．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC₁，BB₁上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2．
（1）当点M在什么位置时，有BM∥平面AEF，并加以证明．
（2）求四棱锥A-BCEF的表面积．

Answer 1

分析 （1）M为AC中点；取AE的中点O，连接OF，OM；证明BM∥OF，即可证明BM∥平面AEF；
（2）分别计算四棱锥A-BCEF各个面的面积，求和即可．

解答 解：（1）M为AC中点；
证明如下：取AE的中点O，连接OF，OM；
∵O，M分别为AE，AC的中点，
∴OM∥CE，
∵BF∥CE，且EC=2FB=2，

∴OM∥FB∥CE，且OM=FB=$\frac{1}{2}CE$；
∴四边形OMBF为矩形，
故BM∥OF；
又BM?平面AEF，OF?平面AEF，
∴BM∥平面AEF；
（2）四棱锥A-BCEF的表面积为
S=S_梯形BCEF+S_△ABC+S_△ABF+S_△AEF+S_△ACE
=$\frac{1}{2}$×（1+2）×2+$\frac{1}{2}$×2²×sin$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{5-2}$+$\frac{1}{2}$×2×2
=6+$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了几何体表面积的计算问题，是综合题．