Question

19．设函数f（x）=log₃（a+x）+log₃（2-x）（a∈R）是偶函数．
（1）若f（p）=1，求实数p的值；
（2）若存在m使得f（2m-1）＜f（m）成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），求出a的值，写出f（x）的解析式，利用f（p）=1，解方程求出p的值；
（2）化简f（x），判断f（x）的单调性，把f（2m-1）＜f（m）转化为等价的不等式组，求出解集即可．

解答 解：因为函数f（x）是偶函数，所以满足f（-x）=f（x）；
即f（-x）=log₃（a-x）+log₃（2+x）=f（x）=log₃（a+x）+log₃（2-x），
所以（a-x）（2+x）=（a+x）（2-x），
解得a=2；
（1）f（x）=log₃（2+x）+log₃（2-x），
其定义域为（-2，2）；
因为f（p）=1，所以log₃（2+p）+log₃（2-p）=1，
即4-p²=3，解得p=±1；
所以实数p的值为±1．
（2）因为$f（x）={log_3}（2+x）+{log_3}（2-x）={log_3}（4-{x^2}）$，
所以函数f（x）在（-2，0]上单调递增，在[0，2）上单调递减；
因为f（2m-1）＜f（m），所以f（|2m-1|）＜f（|m|），
所以有$\left\{\begin{array}{l}|{2m-1}|＞|m|\\-2＜2m-1＜2\\-2＜m＜2\end{array}\right.$，
解得$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{1}{3}$或$1＜m＜\frac{3}{2}$；
所以满足条件的实数m的取值范围是$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}）∪（1，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．