Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA=DC=2AB=2a．
（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求$\frac{AE}{PE}$的值；
（2）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由OE∥平面PBC，利用线面平行的性质可得OE∥PC，再由平行线截线段成比例可得$\frac{AE}{PE}$=$\frac{1}{2}$；
（2）取PC的中点F，连结FB，FD．由△PAD是正三角形，且DA=DC，得DP=DC．进一步得到DF⊥PC．再由AB⊥平面PAD，可得AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．结合DC∥AB，得到DC⊥DP，DC⊥DA．设AB=a，求解三角形可得FB⊥DF．再由DF⊥PC，利用线面垂直的判断可得DF⊥平面PBC．进一步得到平面PBC⊥平面PDC；
（3）由AB∥CD，CD=2AD，可得S_底面ABCD=S_△BCD+S_△ABD=3S_△ABD，然后利用等积法可得四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （1）解：∵OE∥平面PBC，OE?平面PAC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴OE∥PC，则AO：OC=AE：EP．
∵DC∥AB，DC=2AB，∴AO：OC=AB：DC=1：2，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{1}{2}$；
（2）证明：取PC的中点F，连结FB，FD．
∵△PAD是正三角形，且DA=DC，∴DP=DC．
∵F为PC的中点，∴DF⊥PC．
∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．
∵DC∥AB，∴DC⊥DP，DC⊥DA．
设AB=a，在等腰直角三角形PCD中，DF=PF=$\sqrt{2}$a．
在Rt△PAB中，PB=$\sqrt{5}$a．
在直角梯形ABCD中，BD=BC=$\sqrt{5}$a．
∵BC=PB=$\sqrt{5}$a，点F为PC的中点，∴PC⊥FB．
在Rt△PFB中，FB=$\sqrt{3}$a．
在△FDB中，由DF=$\sqrt{2}$a，FB=$\sqrt{3}$a，BD=$\sqrt{5}$a，可知DF²+FB²=BD²，∴FB⊥DF．
由DF⊥PC，DF⊥FB，且PC∩FB=F，PC、FB?平面PBC，∴DF⊥平面PBC．
又DF?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PDC；
（3）解：∵AB∥CD，CD=2AD，
∴S_底面ABCD=S_△BCD+S_△ABD=3S_△ABD，
故${V_{P-ABCD}}=3{V_{P-ABD}}=3{V_{B-PAD}}=3×\frac{1}{3}{S_{△PAD}}×BA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}•{（2a）^2}•a=\sqrt{3}{a^3}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，属中档题．