Question

已知向量

a

=(cosα，1)，

b

=(-2，sinα)，α∈(π，

3π

2

)，且

a

⊥

b

．
（Ⅰ）求sinα的值；  
（Ⅱ）求tan2α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 两个向量垂直的性质建立方程可求得cosα=

1

2

sinα，再由同角三角函数的基本关系及角α的范围求出sinα=-

2 5

5

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-

5

5

，利用同角三角函数的基本关系求出cosα=-

5

5

，进而求得tanα的值，再由二倍角公式求出tan2α的值．

解答：解：（Ⅰ）由向量

a

=(cosα，1)，

b

=(-2，sinα)，且

a

⊥

b

．
可得

a

•

b

=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．
即-2cosα+sinα=0． 所以cosα=

1

2

sinα．（3分）
因为sin²α+cos²α=1，所以sin2α=

4

5

．
因为α∈(π，

3π

2

)，所以sinα=-

2 5

5

．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-

5

5

．
再由 sinα=-

2 5

5

，则得 tanα=2．（8分）
故 tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

-3

=-

4

3

．（13分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用，属于中档题．