Question

（2013•梅州一模）已知F₁，F₂分别是椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₁：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF1|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C₁相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点坐标，再利用抛物线的定义和点M在抛物线上即可得到点M的坐标；利用点M在椭圆C₁上满足椭圆的方程和c²=a²-b²即可得到椭圆的方程；
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，由点F满足4

x

2 2

+3

y

2 2

=12，及S△BOE=S△BOF=

1

2

×2x2，S△AOF=S△AOE=

1

2

×

3

y2，故四边形AEBF的面积S=S_△BEF
+S_△AEF=2x2+

3

y2=

(2x2+ 3 y2)2

，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（1）由抛物线C₁：x²=4y的焦点，得焦点F₁（1，0）．
设M（x₀，y₀）（x₀＜0），由点M在抛物线上，
∴|MF1|=

5

3

=y0+1，

x

2 0

=4y0，解得y0=

2

3

，x0=-

2 6

3

．
而点M在椭圆C₁上，∴

( 2 3 )2

a2

+

(- 2 6 3 )2

b2

=1，化为

4

9a2

+

8

3b2

=1，
联立

c2=1=a2-b2 4 9a2 + 8 3b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
故椭圆的方程为

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）由（1）可知：|AO|=

3

，|BO|=2．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，
把y=kx代人

y2

4

+

x2

3

=1，可得x2=-x1=

2 3

3k2+4

，x₂＞0，y₂=-y₁＞0，且4

x

2 2

+3

y

2 2

=12．
S△BOE=S△BOF=

1

2

×2x2，S△AOF=S△AOE=

1

2

×

3

y2，
故四边形AEBF的面积S=S_△BEF+S_△AEF=2x2+

3

y2=

(2x2+ 3 y2)2

=

4 x 2 2 +3 y 2 2 +4 3 y1y2

≤

4 x 2 2 +3 y 2 2 +2× (2x2)2+( 3 y2)2 2

=2

6

．
当且仅当2x2=

3

y2时上式取等号．
∴四边形AEBF面积的最大值为2

6

．

点评：本题综合考查了椭圆抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、四边形的面积转化为三角形的面积计算、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力和计算能力．