Question

如右图，l表示南北方向的公路，A地在公路的正东2 km处，B地在A地东偏北30°方向2 km处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在河岸PQ上选一处M建一座码头，向A、B两地转运货物，经测算从M到A、B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位:万元）

A.(2+)a           B.5a                     C.2(+1)a              D.6a

Answer 1

B  根据题意,曲线为抛物线,过A作l垂线交曲线于O,以O为原点,OA所在直线为x轴建立坐标系,则抛物线方程为y²=4x,过B作BD⊥x轴于D.

∵|AB|=2,∠BAD=30°,∴BD=,AD=3.

过M作MM′⊥l于M′,则|MA|=|MM′|,∴|MA|+|MB|=|M′M|+|MB|.

当M′,M,B三点共线时最短,最短时长为5,故总费用最低为5a万元.