Question

19．设O为坐标原点，点M坐标为（2，1），若点N（x、y）满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{2x+y-12≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，则使$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$取得取大值的点N的个数是无数个．

Answer 1

分析 根据约束条件画出可行域，利用平面向量的数量积建立目标函数，
将目标函数的最大值转化为y轴上的截距最大，求出最优解的个数即可．

解答 解：根据约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{2x+y-12≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，画出可行域，如图所示；
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（2，1）•（x，y）=2x+y，
设z=2x+y，
将最大值转化为y轴上的截距最大，
由于直线z=2x+y与可行域边界：2x+y-12=0平行，
当直线z=2x+y经过直线2x+y-12=0上所有点时，z最大，
最大为：12．
则使$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$取得最大值时点N的个数有无数个．
故答案为：无数个．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了线性规划的应用问题，是综合性题目．