Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

10

，它的一条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线交点的纵坐标为6，则正数p的值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

10

，可得

b

a

．再利用双曲线的一条渐近线y=-

b

a

x与抛物线y²=2px（p＞0）的准线：x=-

p

2

交点的纵坐标为6，可得6=-

b

a

×(-

p

2

)．即可得出．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

10

，
∴

c

a

=

10

，c²=a²+b²．
∴10a²=a²+b²，
化为

b

a

=3．
∵双曲线的一条渐近线y=-

b

a

x与抛物线y²=2px（p＞0）的准线：x=-

p

2

交点的纵坐标为6，
∴6=-

b

a

×(-

p

2

)．
解得p=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了计算能力，属于基础题．