Question

17．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$，前n项和为S_n，若实数λ满足（-1）ⁿλ＜3+（-1）ⁿ⁺¹S_n对任意正整数n恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． $-\frac{10}{3}$＜λ≤$\frac{9}{4}$
• B． $-\frac{10}{3}$＜λ＜$\frac{9}{4}$
• C． $-\frac{9}{4}$＜λ≤$\frac{10}{3}$
• D． $-\frac{9}{4}$＜λ＜$\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 求出a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用裂项相消求和，可得前n项和为S_n，判断可得{S_n}为递增数列，求得最值，讨论n为奇数和偶数，由恒成立问题解法，求得λ的范围，即可得到所求范围．

解答 解：a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
可得{S_n}为递增数列，且有S₁取得最小值$\frac{1}{3}$；
且S_n＜$\frac{3}{4}$，
当n为偶数时，（-1）ⁿλ＜3+（-1）ⁿ⁺¹S_n对任意正整数n恒成立，
即为λ＜3-S_n对任意正整数n恒成立，
由3-S_n＞3-$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
可得λ≤$\frac{9}{4}$①
当n为奇数时，（-1）ⁿλ＜3+（-1）ⁿ⁺¹S_n对任意正整数n恒成立，
即为-λ＜3+S_n对任意正整数n恒成立，
由3+S_n≥3+S₁=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，
可得-λ＜$\frac{10}{3}$，即λ＞-$\frac{10}{3}$②
由①②解得$-\frac{10}{3}$＜λ≤$\frac{9}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．