Question

9．在正棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点，AA₁：AB=$\sqrt{2}$：1，则异面直线AB₁与BD所成的角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 （几何法）
设AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，取A₁C₁的中点E，连结B₁E，AE，则B₁E∥BD，∠AB₁E是异面直线AB₁与BD所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB₁与BD所成的角．
（向量法）
设AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB₁与BD所成的角．

解答 解：（几何法）
∵在正棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点，AA₁：AB=$\sqrt{2}$：1，
∴设AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，
取A₁C₁的中点E，连结B₁E，AE，则B₁E∥BD，
∴∠AB₁E是异面直线AB₁与BD所成的角（或所成角的补角），
B₁E=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB₁=$\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos∠AB₁E=$\frac{A{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{E}^{2}-A{E}^{2}}{2A{B}_{1}•{B}_{1}E}$=$\frac{3+\frac{3}{4}-\frac{9}{4}}{2•\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AB₁E=60°，
∴异面直线AB₁与BD所成的角为60°．
故选：C．
（向量法）
∵在正棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点，AA₁：AB=$\sqrt{2}$：1，
∴设AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，
以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），D（0，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
设异面直线AB₁与BD所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴异面直线AB₁与BD所成的角为60°．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．