Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有a_n+1=kS_n+1（k为常数）．
（I）当k=2时，求a₂，a₃的值；
（II）试判断数列{a_n}是否为等比数列？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）在递推关系中，令n取1，2，利用和的定义将和用项表示，求出项．
（II）利用数列和的定义，通过仿写作差将和与项的关系转化为项与项间的递推关系，利用等比数列的定义判断出数列a_n的情况

解答：解：（I）当k=2时，a_n+1=2S_n+1．
令n=1得a₂=2S₁+1，又a₁=S₁=1，得a₂=3；
令n=2得a₃=2S₂+1=2（a₁+a₂）+1=9，∴a₃=9．
∴a₂=3，a₃=9．
（II）由a_n+1=kS_n+1，得a_n=kS_n-1+1，
两式相减，得a_n+1-a_n=（kS_n+1）-（kS_n-1+1）=k（S_n-S_n-1）=ka_n（n≥2），
即a_n+1=（k+1）a_n（n≥2），
且

a2

a1

=

k+1

1

=k+1，故a_n+1=（k+1）a_n．
k=-1时，an=

1，(n=1) 0．(n≥2)

此时，{a_n}不是等比数列；
当k=-1时，{a_n}不是等比数列；
当k≠-1时，{a_n}是等比数列

点评：本题考查数列是特殊的函数，求特殊项就是求函数值，将n用特殊值代替；利用仿写作差将项与和的递推关系转化为项与项的递推关系．