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已知椭圆+=1经过点P(),离心率是,动点M(2,t)(t>0)
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且别直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON长是定值,并求出定值.

【答案】分析:(1)由椭圆+=1离心率是,设椭圆方程设为,把点P()代入,得,由此能求出椭圆的标准方程.
(2)以OM为直径的圆的圆心是(1,),半径r=,方程为,由以OM为直径圆直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,知,由此能求出所求圆的方程.
(3)设N(x,y),点N在以OM为直径的圆上,所以x2+y2=2x+ty,又N在过F垂直于OM的直线上,所以2x+ty=2,由此能求出ON.
解答:解:(1)∵椭圆+=1经过点P(),
离心率是
∴椭圆方程设为
把点P()代入,

解得4k2=2,
∴椭圆的标准方程是
(2)以OM为直径的圆的圆心是(1,),
半径r=
方程为
∵以OM为直径圆直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,
∴圆心(1,)到直线3x-4y-5=0的距离d=

解得t=4,
∴所求圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=5.
(3)设N(x,y),
点N在以OM为直径的圆上,
所以x(x-2)+y(y-t)=0,
即:x2+y2=2x+ty
又N在过F垂直于OM的直线上,
所以
即2x+ty=2,
所以
点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,仔细解答.
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